수준별 문제-난이도(상)

01 [eqn: 2 TIMES 3] 행렬 [eqn: A]의 ([eqn: i], [eqn: j])성분이 [eqn: a _{ij} =][eqn: cases{```i ^{2}&(i>j)#``j-i`&(i LEQ j)}]일 때, 행렬 [eqn: A]를 구하여라.

|문제 만들기| [eqn: 2 TIMES 2] 행렬 [eqn: A]의 [eqn: LEFT ( i,``j RIGHT )]성분이 [eqn: a _{ij} = cases{``i ^{2}&(i > j)#``0&(i=j)#``j-i`````&(i < j)}]일 때, 행렬 [eqn: A]를 구하여라.

02 등식 [eqn: pmatrix{```x ^{2} -x`````&4#4x&-2``````} = pmatrix{x+3&4#`````x ^{2} +5y`````&y-1``}]을 만족시키는 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하여라.

03 [eqn: pmatrix{```x+y````&3```#```b````&``x ^{2} +y ^{2} ```} = pmatrix{```4```&```a```#````2```&```10```}]을 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: pmatrix{```2xy```&```a```#```x ^{3} ```&```3```} + pmatrix{```-2b```&```b```#``````y ^{3} ```&`1} `]을 구하여라.

04  이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0]의 두 근을 [eqn: p,``q]라고 할 때,

[eqn: p` pmatrix{```1&`````p```#```0&`````q```} +q` pmatrix{```1`````&q```#```0`````&p```} = pmatrix{`5````&13```#`````0```````&2pq```}]를 만족시키는 상수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

05 이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x-2=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: X= pmatrix{```` alpha `````&1````#````1`````&beta ````}]에 대하여 [eqn: X ^{2}]의 모든       성분의 합을 구하여라.

06 [eqn: A=` pmatrix{````````1&```````3#``-1&```-2``} ``]에 대하여 [eqn: A ^{5} -3A ^{2} +5A]의 모든 성분의 합을 구하여라.

해답 및 해설

[eqn: a _{ij} = LEFT { lpile{i ^{2} ``````````````(i>j)#j-i`````(i LEQ j)} RIGHT .] 에 [eqn: i=1,``2]와 [eqn: j=1,``2,``3]을 차례로 대입하여 계산하면

[eqn: a _{11} =0], [eqn: a _{12} =1], [eqn: a _{13} =2], [eqn: a _{21} =4], [eqn: a _{22} =0], [eqn: a _{23} =1]

[eqn: THEREFORE ``A= pmatrix{``0&```1&```2`#``4&```0&``1}]

|문제 만들기| [eqn: a _{ij} = LEFT { lpile{i ^{2} ``````````````(i>j)#0````````````````(i=j)#j-i`````(i<j)} RIGHT .]에 [eqn: i=1,``2]와 [eqn: j=1,``2]를 차례로 대입하여 계산하면

[eqn: a _{11} =0], [eqn: a _{12} =1], [eqn: a _{21} =4], [eqn: a _{22} =0]

[eqn: THEREFORE ``A= pmatrix{``0&````1`#``4&``0}]

두 행렬의 대응하는 성분이 각각 같아야 하므로

[eqn: x ^{2} -x=x+3]	[eqn: CDOTS CDOTS]①

[eqn: 4x=x ^{2} +5y]	[eqn: CDOTS CDOTS]②

[eqn: -2=y-1]	[eqn: CDOTS CDOTS]③

③에서 [eqn: y=-1]이므로  ②에 대입하여 풀면

[eqn: x ^{2} -4x-5=0], [eqn: (x+1)(x-5)=0]

[eqn: THEREFORE ``x=-1] 또는 [eqn: x=5]

또, ①에서 [eqn: x ^{2} -2x-3=0], [eqn: (x+1)(x-3)=0]

[eqn: THEREFORE ``x=-1] 또는 [eqn: x=3]

따라서 ①과 ②를 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: -1]이므로 [eqn: x=-1], [eqn: y=-1]

두 행렬의 대응하는 성분이 각각 같아야 하므로 [eqn: a=3], [eqn: b=2]

[eqn: x+y=4]   [eqn: CDOTS CDOTS]①     [eqn: x ^{2} +y ^{2} =10]  [eqn: CDOTS CDOTS]②

①, ②에서 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} -2xy]

[eqn: 2xy=4 ^{2} -10]    [eqn: THEREFORE `xy=3]

[eqn: THEREFORE ` pmatrix{``2xy&`````a`#````x ^{3}&```3} + pmatrix{``-2b&`````b`#```````y ^{3}&`````1}][eqn: = pmatrix{2xy-2b&``a+b`#`` LEFT ( x+y RIGHT ) ^{3} -3xy LEFT ( x+y RIGHT )&``4}][eqn: = pmatrix{```2&````5#``28&````4`}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0]의 두 근이 [eqn: p], [eqn: q]이므로	[eqn: p+q=a], [eqn: pq=b]

[eqn: p pmatrix{``1&````p`#``0&``q} +q pmatrix{``1&````q`#``0&```p}][eqn: = pmatrix{``p&``````p ^{2} `#`0&`pq} + pmatrix{``q&``````q ^{2} `#`0&```pq} = pmatrix{``5&```13#``0&````2pq`}]

[eqn: pmatrix{``a&````a ^{2} -2b`#``0&``2b} = pmatrix{``5&````13`#``0&````2b}]

두 행렬의 대응하는 성분이 각각 같아야 하므로	[eqn: a=5]

[eqn: a ^{2} -2b=13]에서 [eqn: b=6]

[eqn: THEREFORE `a+b=11]

[eqn: alpha + beta =3], [eqn: alpha beta =-2]

[eqn: X ^{2} = pmatrix{` alpha &````1`#`1&`` beta } pmatrix{` alpha &````1`#`1&`` beta } = pmatrix{alpha ^{2} +1&alpha + beta #alpha + beta &1+ beta ^{2}}]

[eqn: X ^{2}]의 모든 성분의 합은

[eqn: LEFT ( alpha ^{2} + beta ^{2} RIGHT ) +2 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) +2]

[eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta +2 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) +2]

[eqn: =9+4+6+2=21]

[eqn: A= pmatrix{````````1&``````````3#`-1&```-2`}]이므로 케일리-해밀턴의 정리에 의하여 [eqn: A ^{2} +A+E=O]

위 식의 양변에 [eqn: A-E]를 곱하면

[eqn: LEFT ( A-E RIGHT ) LEFT ( A ^{2} +A+E RIGHT ) =O]에서 [eqn: A ^{3} =E]

[eqn: THEREFORE `A ^{5} -3A ^{2} +5A=A ^{3} A ^{2} -3A ^{2} +5A][eqn: =-2A ^{2} +5A]

[eqn: =-2 LEFT ( -A-E RIGHT ) +5A][eqn: =7A+2E]

[eqn: = pmatrix{`````````9&``````````21#`-7&```-12`}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 11]이다.